Печатается по книге: Прокл. Комментарий к первой книге "Начал" Евклида. - М.: Греко-латинский кабинет им. Ю.А. Шичалина, 1994, стр. 129-197, 211-219. Перевод и комментарии Ю.А. Шичалина. ПРОКЛ ДИАДОХ. КОММЕНТАРИЙ К ПЕРВОЙ КНИГЕ "НАЧАЛ" ЕВКЛИД. ВВЕДЕНИЯ ЧАСТЬ ВТОРАЯ. 1. В предшествующих рассуждениях мы рассмотрели общие положения, относящиеся ко всей математической науке, следуя при этом ПЛАТОНУ и выбирая у остальных те мысли, которые соответствуют занимающему нас предмету. Вслед за этим скажем и о самой геометрии, а также о подлежащих рассмотре- нию "Началах", ради которых предпринято все это рассуждение. 2. Относительно того, что геометрия есть часть математики в целом и что она занимает второе место вслед за арифметикой, от которой у нее полнота и определенность (потому что все то, что рационально описывается (1) и по- знается в геометрии, определяется числовыми соотношениями), — сказано древними и по- этому в настоящий момент не нуждается в пространном изложении. Но наш очерк гео- метрии будет иметь смысл в том случае, если мы рассмотрим, какое место в иерархии сущих занимает та материя, с которой геометрия имеет дело, и какова ее сущность, потому что 129 по надлежащем ее рассмотрении обнаружатся как возможности науки, познающей эту мате- рию, так и польза от нее и прок для тех, кто ее изучает. Дело в том, что может возникнуть за- труднение как раз относительно того, в каком роде сущих должно помещать геометрическую материю, не погрешая против истинного ее понимания (2). В самом деле, если те фигуры, о которых рассуждает геометр, принадлежат к чувственному миру и неотделимы от материи, как мы тогда утверждаем, что геометрия осво- бождает нас от чувственного мира, и возводит к бестелесной реальности, и приучает к созер- цанию умопостигаемого, и подготавливает к интеллектуальной деятельности? И где это мы видим в чувственном мире точку, не имеющую частей, или линию, не имеющую ширины, или плоскость, лишенную толщины, или равенство радиусов круга, и вообще все эти многоуголь- ники и многогранники, о которых учит гео- метрия? И как остаются неопровержимыми рациональные построения этой науки в то время, как чувственно воспринимаемые фигу- ры и формы допускают «больше» и «меньше», всячески движутся и изменяются, полны вся- ческой материальной неопределенности, когда равенство существует вместе со своей противо- положностью — неравенством, а неделимое выступает в виде делимого и протяженного? Если же то, с чем имеет дело геометрия, — вне материи, если это чистые рациональные по- строения, отделенные от чувственно восприни- маемого, то все они окажутся лишенными час- тей, тела и величины, потому что протяжен- ность, объем и вообще пространственные ха- рактеристики свойственны рациональным по- 131 строениям из-за материальной «восприемни- цы», которая воспринимает лишенное частей как имеющее части, лишенное пространствен- ных характеристик как помещенное в прост- ранстве, а неподвижное — в движении. Но в таком случае как же мы делим прямую, тре- угольник, круг? И как говорим о различии уг- лов и их увеличении и об уменьшении фигур, например, треугольников и четырехугольни- ков, и о касании кругов или прямых? Ведь все это показывает, что геометрическая материя делима и не существует в не имеющих частей рациональных построениях. 3. Таковы эти затруднения, а к тому же и ПЛАТОН называет геометрические формы постигаемыми в размышлении (3), однако до- пускает, что они отвлекают нас от чувственно- го мира и от чувственного восприятия пробуж- дают к уму, хотя — как я сказал — в размыш- лении эти рациональные построения являются неделимыми и выступают вне пространствен- ных характеристик только в той мере, в какой это свойственно душе. Поэтому если должно согласовать наши рациональные построения с самими вещами и в то же время с изложением ПЛАТОНА, проведем следующее разделение: все всеобщее и единое, охватывающее некото- рое множество, либо обнаруживается в еди- ничном и в нем обладает наличным бытием, наличествующим нераздельно с этим единич- ным, имеющим место в нем и вместе с ним — находясь ли с ним в совместном движении, или единообразно и неподвижно пребывая; ли- бо обладает реальностью до множества и явля- ется порождающим множество и придает мно- жеству свое выражение, а также — будучи са- 133 мо нераздельно помещенным прежде всего то- го, что ему причастно, — уделяет вторичному разнообразные виды причастности; либо его мысленный образ создается путем отвлечения от многого и таким образом оно обладает на- личным бытием позднейшего происхождения и в качестве возникшего позднее сосуществует с множеством (4). Именно в соответствии с этими тремя видами реальности мы и найдем, я по- лагаю, что одно обладает реальностью до мно- жества, другое — во множестве, а третье — по отношению ко множеству в соответствии с той или иной категорией. И поскольку существует три — говоря кратко — вида всеобщего, рассмотрим разли- чие того, что допускает причастность, в соот- ветствии с тем, какова его материя. И если при этом мы примем, что есть два вида того, что причастно, — чувственно воспринимаемое и обладающее реальностью в воображении (потому что и материи две, причем одна — у того, что связано с чувствами, а другая — у воображаемого, — в соответствии с тем, что где-то говорит и АРИСТОТЕЛЬ), то мы до- пустим, что всеобщее, имеющее место во мно- жестве, — двух видов (5): одно — чувственно воспринимаемое, и ему причастно чувственно воспринимаемое; а другое — воображаемое, обладающее реальностью во множестве, созда- ваемом воображением. В связи с этим заметим, что воображение (6) — в силу того, что оно обладает способностью создавать образы и обладает реальностью вместе с телом и в теле — является носителем отображений всегда имеющих части, раздель- ных и обладающих определенной формой, 135 причем все, что оно познает, обладает такого рода реальностью. Именно поэтому иногда во- ображение решаются называть «аффицируе- мым умом» (7). Однако же, если это ум, — как он может быть аффицируемым и материаль- ным? И если он действует на основе аффек- тов, то правильно ли называть его умом? Ведь уму и умной природе соответствует неаффици- руемость, а сфера аффектов далека от нее. Впрочем, я думаю, что воображение названо так в силу желания выявить его срединное по- ложение между самыми высшими и самыми низшими познавательными способностями: «умом» — поскольку оно имеет сходство с наивысшими, но в то же время — «аффициру- емым», поскольку оно имеет сродство с низ- шими. Способность познавать без очертаний и образов обладает умопостигаемым в себе са- мой, ее деятельность направлена на нее же са- мое и она представляет собой одно с познавае- мым, будучи при этом чистой от всякого отоб- ражения и аффекта, исходящего от чего-либо другого. А низшие виды познания действуют с помощью органов чувств и скорее являются результатами аффектов, воспринимающими знания извне и меняющимися вместе с позна- ваемым. Действительно, ПЛАТОН говорит, что таковы ощущения, возникающие от непро- извольных аффектов (8). Что же касается вооб- ражения, то оно, будучи средоточием в сфере познавательных способностей, хотя и возбуж- дается самим собою и само производит подле- жащее познанию, однако же вместе с тем, бу- дучи не вне тела, из неделимой, жизни перево- дит все то, что оно познает, в область раздель- ного, пространственно протяженного и имею- 137 щего очертания, и в силу этого все, что оно ни помыслит, является отпечатком и образом мысли; поэтому оно, во-первых, мыслит круг пространственно, то есть в качестве чистого от внешней материи, однако же не без умопости- гаемой материи, которая есть в воображении; и, во-вторых, этот воображаемый круг не единственный, точно так же как и в области чувственно воспринимаемого, потому что од- новременно с пространственными характерис- тиками возникает большее и меньшее, а также множество кругов и треугольников. Поэтому если в чувственно воспринимаемых кругах имеет место всеобщее, которое приводит к то- му, что и все они подобны один другому как получившие реальность в соответствии с еди- ным рациональным построением (9), хотя они и различаются либо по величине, либо по мате- риалу, то и в воображаемых кругах есть нечто общее — то, чему все они причастны и в соот- ветствии с чем обладают одним и тем же обра- зом, но различаются они в данном случае только одним: воображаемой величиной. В са- мом деле, если вообразить несколько концент- рических кругов, то хотя все они обладают на- личным бытием в едином нематериальном подлежащем и в том виде жизни, который не- отделим от простого тела, благодаря простран- ственным характеристикам умножающего не- делимые сущности, однако же они отличаются по величине и малости, а также по тому, что одни из них охватывают другие. Таким обра- зом следует мыслить два вида всеобщего, нахо- дящегося во множественном: одно — в чувст- венно воспринимаемом, другое — в вообража- емом. Поэтому и круг как рациональное по- 139 строение двояк, и треугольник, и вообще вся- кая фигура: одни находятся в умопостигаемой материи, другие — в чувственно воспринимае- мой. А им предшествует — с одной стороны — мысленное рациональное построение, с другой — природное: одно обеспечивает реальность и единую форму воображаемых кругов, другое — чувственно воспринимаемых, — таковыми пусть будут круговые движения неба и вообще все те, какие производит природа. При этом следует заметить, что неделимо как мысленное, так и природное рациональное построение: они являются пространственными вне про- странства, разделенными на части вне разде- ления и величинами вне величины, когда речь идет о бестелесных причинах; и наоборот: они лишены деления на части в качестве делимых и лишены величины в качестве имеющих вели- чину, когда речь идет о телесных причинах. Именно поэтому мысленный круг един, прост и внепространствен, так что сама величина там лишена величины (потому что все такое там — рациональные построения без материи) и фигура не имеет очертаний; в воображении он — подлежащий делению, имеющий прост- ранственные очертания, не только единый, но единый и множественный, не только форма, но форма, имеющая место в определенной ма- терии; а в чувственно воспринимаемом он об- ладает меньшей точностью, несет в себе эле- менты прямизны и лишен чистоты, какая свойственна бестелесному. 4. Таким образом, будем считать, что гео- метрия, когда она говорит о круге, диаметре и операциях, производимых над кругом, учит не о чувственно воспринимаемом (потому что 141 она стремится к отвлечению от него) и не о мысленной форме: круг ведь один, а она про- изводит свои рациональные построения по от- ношению к каждому данному и рассматривая во всех одни и те же свойства; при этом мыс- ленный круг не подлежит делению на части, а в геометрии — подлежит. Однако же мы будем допускать, что она усматривает в нем всеоб- щее, но только то, какое имеет место в вообра- жаемых кругах, причем один круг она видит, другой — мысленный — рассматривает, а от- носительно третьего производит доказательст- ва. А именно, мысль, обладая рациональными построениями, но не обладая силой рассмат- ривать их как сложные сочетания, разбивает их на простые компоненты и переводит в дру- гую область рассмотрения, то есть передает их воображению (которое находится «в преддве- рии» (10)), и уже в нем — или с его помощью — дает о них развернутое знание, мирясь с от- влеченностью от чувственно воспринимаемого и найдя воображаемую материю подходящей в качестве восприемницы для его форм. Поэто- му, геометрическое мышление связано с вооб- ражением, и в воображении происходят сло- жения и разделения фигур, так что даваемое геометрией знание хотя и является путем к мысленному бытию, однако не поднимается до него, поскольку мысль в данном случае взира- ет на внешнее и рассматривает его в соответ- ствии с внутренним, пользуется выявлениями рациональных построений, однако движется при этом от самой себя во внешнее. Но если бы когда-нибудь — свернув то, что развернуто в пространстве и рассматривая отображения и множественное вне образов и как единое — 143 геометрическое мышление могло возвратиться к себе самому, тогда оно узревало бы исклю- чительно рациональные построения геометрии — неделимые, внепространственные и облада- ющие подлинным бытием, каковых полнотою оно является. И тогда занятия геометрией са- ми были бы достойнейшей целью ревностного к ней отношения и поистине результатом гер- месова дара, возводящего нас от некоей Ка- липсо (11) к самому совершеннейшему и опира- ющемуся на чистую мысль знанию и освобож- дающего от образных представлений, возника- ющих в воображении. Поэтому подлинный геометр должен заботиться именно об этом и как к цели стремиться к пробуждению и к пе- реходу от воображения к чистой мысли как та- ковой, отвлекая себя от пространственных ха- рактеристик и аффицируемого ума к мысли- тельной деятельности, благодаря которой он будет видеть внепространственно любые круг, диаметр, вписанные в круг многоугольники, причем будет видеть все во всем и каждое в отдельности. Потому что ради этого мы и в во- ображении показываем круги, вписывающиеся в многоугольники, и многоугольники в кругах, воспроизводя то, как неделимые рациональные построения обнаруживаются друг через друга. И ради этого, таким образом, мы описываем составление фигур, их возникновение, разделе- ние, а также положения и построения, в связи с чем прибегаем к воображению и создавае- мым с его помощью пространственным обра- зам, тогда как форма сама по себе неподвиж- на, не имеет возникновения, неделима и со- вершенно лишена того, что подлежит оформ- лению. Однако все то, что пребывает в ней со- 145 кровенно, выводится в область воображения в виде пространственных и подлежащих деле- нию на части образов, причем мысль провоци- рует такое проявление формы, мысленная форма есть то, что проявляется, а то, в чем она проявляется, есть так называемый аффи- цируемый ум, развертывающий себя на фоне нераздельности истинного ума, пространствен- но отделяющий себя от непротяженности чис- той мысли и придающий себе тот или иной об- раз в соответствии со всеми лишенными обра- за формами и таким образом становящийся всем, в качестве чего мысль и наличное в нас неделимое рациональное построение существу- ют. 5. Вот что мы можем сказать о геометри- ческой материи, имея при этом в виду и то, что. ПОРФИРИЙ философ написал в своих "Исследованиях по разным вопросам", и что из- лагается большинством ПЛАТОНИКОВ (12), но полагая, что это более согласуется с подходами геометров, а также с ПЛАТОНОМ, который называет область, подлежащую геометрии, предметом мысли, dianoeta. Все это согласуется одно с другим, потому что причины геометри- ческих форм, в соответствии с которыми мысль выдвигает доказательства, в ней уже обладают наличным бытием, а сами подлежащие деле- нию и сочетанию фигуры проявляются в об- ласти воображения. Теперь скажем о самом умозрительном знании этого. Геометрия есть знание величин, фигур и их границ, а также отношений между ними и производимых -над ними операций, разнооб- разных положений и движений; рна начинает с неделимой точки, завершает объемными фи- 147 гурами и исследованием многообразных раз- личий между ними, и уже после этого от более сложного возвращается к более простому и к началам более сложного. А именно, она поль- зуется синтезом и анализом, всякий раз начи- ная с предпосылок, начала беря от более высо- кого знания и используя все диалектические методы: когда речь идет о началах, она ис- пользует отделение видов от родов и определе- ния; когда о том, что следует за началами, — доказательством и анализом, чтобы показать переход от более простого к более сложному и опять возвращение к более простому, отдельно производя рациональные построения относи- тельно того, что ей подлежит, отдельно — от- носительно аксиом, от которых она переходит к доказательствам, и относительно постулатов; и отдельно — относительно существенных свойств, показывая, что и они связаны с пред- метом ее рассмотрения. Ведь в каждом знании одно — род, который является предметом дан- ного вида знания и операции над которым предполагается рассмотреть; другое — начала, которыми пользуются для доказательств; третье — существенные свойства. При этом если аксиомы общи всем видам знания, хотя каждое пользуется ими применительно к тому, что подлежит рассмотрению, то род и сущест- венные свойства — различны. 6. Предмет рассмотрения геометрии — тре- угольники, четырехугольники, круги и вообще фигуры, величины и их границы; то, что им по существу свойственно, — деление, отношение, касание, равенство, параболы, гиперболы, эл- липсы и все такого рода; с другой стороны — постулаты и аксиомы, с опорой на которые 149 проводится то или иное доказательство, — на- пример, проведение единственной прямой между любыми двумя точками, или равенство остатков при отнятии равных отрезков от рав- ных отрезков и то, что из этого вытекает. По- этому не всякая проблема и не всякий вопрос являются геометрическими, но только те, кото- рые исходят из геометрических начал, так что как геометр может быть опровергнут тот, кого опровергают исходя из этих начал. А все то, что из них не исходит, не является геометри- ческим, но лежит вне геометрии. Но это по- следнее также двух видов: оно либо целиком исходит из других начал, как, например, мы называем не имеющими отношения к геомет- рии вопросы музыки, потому что их рассмот- рение исходит совершенно из других предпо- сылок, нежели предпосылки геометрии; либо пользуется геометрическими началами, однако превратно, например, в случае утверждения, что параллельные сходятся. Поэтому геомет- рия же дает нам критерии, на основании кото- рых мы можем распознавать, что соответствует ее началам, а что отступает от их истины. Эти- ми критериями являются способы, с помощью которых можно показать, в чем ошибка лож- ного умозаключения. Действительно, одно вы- текает из геометрических начал, другое — из арифметических. О других науках, которые стоят совсем далеко от этих, я и не говорю, потому что, как говорит АРИСТОТЕЛЬ, из двух наук одна точнее другой (13): та, которая пользуется более сложными началами, менее точна, чем та, которая исходит из более прос- тых предпосылок; та, которая говорит «поче- му», точнее той, которая познает «что», и та, 151 которая имеет дело с умопостигаемым, точнее той, которая соприкасается с чувственным. Так вот, если исходить из точности, то арифметика точнее геометрии, потому что ее начала отличаются простотой: монада лишена положения, а точка имеет положение, и точка, когда она получила положение, является нача- лом геометрии, а начало арифметики — мона- да; при этом геометрия выше сферики, а арифметика — музыки, потому что первые да- ют всеобщие причины для рассмотрения, про- водимого вторыми; а выше механики и оптики геометрия потому, что те рассуждают о чувст- венно воспринимаемом. Поэтому начала арифметики и геометрии превосходят начала остальных наук, однако их собственные пред- посылки отличаются одни от других так, как мы об этом сказали, хотя — с другой стороны — между ними есть и нечто общее; поэтому одно из того, что они рассматривают и дока- зывают, обще обеим, а другое — у каждой свое. Например, утверждение «всякое отноше- ние может быть выражено» относится к ариф- метике, но никак не к геометрии, потому что в геометрии есть отношения, которые не могут быть выражены. Точно так же только в ариф- метике есть наименьшая разница между квад- ратами (14), тогда как в геометрии вообще нет понятия наименьшего. А особенностью геомет- рии является понятия «положение» (числа по- ложения не имеют), «касание» (потому что касаться могут только непрерывные величи- ны), «иррациональные числа» (потому что ир- рациональное там, где есть деление до беско- нечности). Общее у обеих то, что связано с де- лением (ЕВКЛИД излагает это во Второй 153 книге — за исключением деления прямой в крайнем и среднем отношении[, что изложено в Шестой книге]). В свою очередь одни из этих общих предметов рассмотрения перено- сятся из геометрии в арифметику, другие — из арифметики в геометрию, а третьи равным об- разом имеют отношение к обеим, поскольку переходят к ним из общей математической на- уки. Таковы подстановка, обращение пропор- ций, их сложение и деление, общие обеим, но только арифметика рассматривает их первич- но, а геометрия — вторично, в подражание арифметике. Поэтому, в частности, соизмери- мые величины определяются так на основании того, что они относятся одна к другой как чис- ло к числу, потому что преимущественно соиз- меримость существует в области чисел. В са- мом деле, где число, там и соизмеримое, а где соизмеримое, там и число. А вот то, что отно- сится к треугольникам и четырехугольникам, геометрия рассматривает первично, а арифме- тика — по аналогии с ней. Вместе с тем, фигу- ры существуют в числах как в своей причине. Поэтому в данном случае, мы, начав с резуль- татов, переходим к их причинам, каковые на- ходятся в области чисел, и в одних случаях сталкиваемся с одинаковыми свойствами (на- пример, всякий многоугольник делится на тре- угольники), а в других довольствуемся приб- лизительным соответствием (например, в гео- метрии у нас есть четырехугольник вдвое боль- ший другого четырехугольника, а в числах — нет, поэтому мы говорим, что один квадрат вдвое больше другого квадрата за вычетом единицы, как, например, квадрат семи вдвре больше квадрата пяти за вычетом единицы (15)). 155 7. Мы преимущественно говорили об этом, потому что рассматривали, в чем сходство на- чал этих двух наук и в чем различие: ведь за- дача геометра и состоит в том, чтобы рассмат- ривать, с какими началами согласуются общие для обеих наук положения, а с какими — частные, и на основании этого различать, что относится к геометрии, а что нет, и относить одно к одной науке, а другое — к другой. А те- перь еще раз с самого начала рассмотрим гео- метрию в целом, из чего она исходит и чем за- вершается, то есть рассмотрим таким образом сферу присущих ей рациональных построений. Представим мысленно, как она распространя- ется по всем видам сущего, как применяет ко всему свой образ мысли и охватывает в себе формы всего, с вершин доступной ей мысли, озирая подлинно сущее, а через подобия давая представление и об особенностях божествен- ных миров и о возможностях мыслительных форм. Дело в том, что геометрия в свойствен- ных ей умозрениях обладает рациональными построениями, связанными с этими мыслите- льными формами, причем она показывает, ка- кие фигуры в качестве надлежащих свойствен- ны богам, какие — первым сущностям, а ка- кие — реальностям душ; однако она в соответ- ствии со свойственным ей промежуточным ти- пом познания разворачивает рациональные построения мысли, делает их множественны- ми, рассматривает наличное в них разнообра- зие и уясняет их наличное бытие, а также про- изводимые над ними операции, а также то, что их объединяет и различает, и уже исходя из этого охватывает создаваемые воображением фигуры разного вида и возводит их к сущност- 157 ной реальности рациональных построений; а в соответствии с третьим свойственным ей про- явлением мыслительной деятельности она рас- сматривает природу, а также учит о формах элементов чувственного мира и связанных с ними потенциях, — это потому, что она обла- дает подобиями целостных умопостигаемых родов и образцами чувственно воспринимае- мых; но сама существует в сфере мысленных форм, обладающих срединным характером, посредством которых она восходит и нисходит как к целостному бытию, так и к возникающе- му. Неизменно философствуя о сущих (на свой геометрический лад и в соответствии со всеми рациональными построениями свойст- венных ей достоинств), она заключает в себе подобия всего того, что относится к мысли, ду- ше и природе, а также излагает в определен- ном порядке все виды государственного уст- ройства и в самой себе показывает разнооб- разные изменения; и действуя при этом нема- териально, хотя и соприкасаясь с материей, она сама от себя производит науки, например, геодезию, механику, оптику, благодаря кото- рым она и благодетельствует жизни смертных. Ведь она, в частности, создает с помощью этих наук орудия войны и городские укрепления, дает знание о смене времен года и о положе- нии отдельных местностей, учит о длине сухо- путных и морских путей, сооружает различные весы, с помощью которых сообразно с числом устанавливается равенство для городов, а так- же посредством изображений делает явствен- ным порядок всего мироздания и многое недо- стоверное разъясняет и делает достоверным для всех людей. Так, например, передают сло- 159 ва ГИЕРОНА Сиракузского об АРХИМЕДЕ: когда Гиерон построил триэру, которую пред- полагад отправить царю Египта ПТОЛЕ- МЕЮ, и все сиракузяне вместе не могли спус- тить ее на воду, Архимед устроил так, что Гие- рон смог это сделать один; пораженный, он сказал: «С этого дня — верить всякому совету АРХИМЕДА». Говорят, что и ГЕЛОН сказал то же самое, когда Архимед, не разбирая вен- ка, который он сделал, сумел определить вес каждого материала, из которых тот был со- ставлен (16). 8. Об этом написано многими из предше- ственников, которые поставили своей целью восхвалить математику: поэтому здесь — при изложении общего понятия геометрии и ее пользы — мы из этого множества привели только малую часть. Блаженный АРИСТОТЕЛЬ (17) утверждает, что одни и те же представления часто возника- ют у людей через некие определенные проме- жутки в круговом движении мира, поэтому науки впервые были созданы не нами или те- ми, кого мы знаем, но уже появлялись во вре- мя прежних круговоротов (нельзя сказать, скольких по числу) и опять будут появляться в будущих (18). Но поскольку приходится рас- сматривать начала искусств и наук примени- тельно к данному периоду, мы говорим, что согласно свидетельству наибольшего числа ис- следователей, геометрия впервые открыта у ЕГИПТЯН и возникла она от измерения зе- мельных участков (19): египтянам она была не- обходима, потому что разливы Нила всякий раз уничтожали установленные границы. Нет ничего удивительного, что изобретение и этой, 161 и всех прочих наук берет начало от практичес- кой необходимости, потому что все относящее- ся к миру становления переходит к совершен- ству от несовершенного. Поэтому естествен переход от чувственного ощущения к рассудку, а от него к уму. И как точное знание о числе возникло у ФИНИКИЙЦЕВ благодаря тор- говле и обмену, точно так же и у египтян была открыта геометрия по названной причине (20). Сначала ФАЛЕС, посетивший Египет, пе- ренес в Элладу этот вид научного рассмотре- ния, причем многое он открыл сам, а для мно- гого указал основания последователям, пред- ставив одно более общим способом, а другое — более наглядным. После него есть упоминание о том, что МАМЕРК, брат поэта СТЕСИХОРА, также занимался геометрией, причем ГИППИЙ из Элиды пишет, что в геометрии он прославился. После них ПИФАГОР перевел любовь к геометрической мудрости в разряд общеобра- зовательных дисциплин (21), рассмотрев ее на- чала сверху и исследуя теоремы безотноситель- но к вещественному миру посредством чистой мысли: именно он открыл область иррациона- льных чисел и строение пяти мировых тел. Вслед за ним многих геометрических воп- росов касались АНАКСАГОР из Клазомен и ЭНОПИД Хиосский, который немного моло- же Анаксагора; в "Соперниках" ПЛАТОН упо- минает о них как о прославившихся в нау- ках (22). За ними в геометрии прославились ГИП- ПОКРАТ Хиосский, открывший квадрируемые луночки, и ФЕОДОР Киренский. В частности, ГИППОКРАТ упоминается как автор первых 163 "Начал". За ними был ПЛАТОН, стараниями кото- рого геометрия — как и остальные науки — получила величайшее развитие: известно, сколь часто он использует в своих сочинениях математические рассуждения и повсюду про- буждает в преданных философии восторжен- ное отношение к математическим наукам. В это же время жили ЛЕОДАМАНТ с Фасоса, АРХИТ Тарентский и ТЕЭТЕТ Афинский, благодаря которым увеличилось число теорем и геометрия приобрела более научный и систе- матический характер. Младше Леодаманта был НЕОКЛИД и его ученик ЛЕОНТ, которые многое дополнили к сделанному до них: Леонту принадлежат "На- чала", составленные гораздо более тщательно как с точки зрения числа, так и с точки зрения пользы доказываемых задач, и он нашел опре- деления тех случаев, когда исследуемая проб- лема может быть разрешена и когда не может. ЕВДОКС Киидский был немного младше Леонта и был дружен с окружением Платона; он первый увеличил число так называемых об- щих теорем, прибавил к трем пропорциям еще три и — взяв у Платона основу — разработал множество видов сечения, используя при этом метод анализа. АМИКЛ из Гераклеи, один из друзей Платона, и МЕНЕХМ, ученик Евдокса и современник Платона, а также брат Менех- ма ДИНОСТРАТ сделали геометрию еще бо- лее совершенной. А ТЕВДИЙ из Магнесии считался выдающимся как в математических науках, так и в остальной философии; в част- ности, он составил хорошие "Начала" и многие частные положения истолковал в более общем 165 плане. В то же время жил и АТЕНЕЙ из Ки- зика, который был известен во всех математи- ческих науках, но особенно в геометрии. Все они вместе занимались научными изыскания- ми в Академии. А ГЕРМОТИМ Кодофонский развил дос- тижения Евдокса и Теэтета, открыл многие начала и описал некоторые из геометрических мест. ФИЛИПП Мендейский, ученик Платона, им обращенный к математическим наукам, проводил свои изыскания под руководством Платона и ставил перед собой те задачи, кото- рые по его мнению были полезны для плато- новской философии. Писавшие по истории математики изложи- ли развитие этой науки до этого времени (23). Немного младше последних — ЕВКЛИД, со- ставивший "Начала", собравший многое из от- крытого Евдоксом, улучшивший многое из от- крытого Теэтетом, а помимо этого сделавший неопровержимыми доказательствами то, что до него доказывалось менее строго. Он жил при ПТОЛЕМЕЕ Первом, потому что и Архимед, живший при Птолемее Первом, упоминает об Евклиде и, в частности, рассказывает, что Птолемей однажды спросил его, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели "Начала"; а тот ответил, что нет царского пути к геометрии (24). Таким образом, он моложе пла- тоновского кружка и старше Эратосфена и Архимеда, — они-то жили в одно время, как где-то говорит ЭРАТОСФЕН. Он принадле- жит к платоникам и близок их философии (25), почему и поставил целью всего своего изложе- ния начал описание так называемых пяти пла- 167 тоновских тел. Но у него есть также и много других математических сочинений, полных удивительной точности и научности рассмотре- ния. Таковы "Оптика", "Катоптрика", таковы также "Начала музыки" и книга "О Делении". А в началах геометрии им в особенности следует восхищаться за порядок и отбор приведенных теорем и проблем, потому что он берет не все то, что можно сказать, а только основополага- ющее; кроме того он применяет разнообраз- ные виды силлогизмов, которые отчасти полу- чают достоверность от причин, отчасти исходят из достоверных положений (26), но при этом все — неопровержимые, точные и свойственные науке; помимо них он применяет все диалек- тические методы: метод разделения — при ус- тановлении видов, метод определения — при определении сущности, метод демонстрации — при переходе от начал к искомому, метод ана- лиза — при восхождении от искомого к нача- лам. Кроме того данное сочинение дает доста- точно точное рассмотрение различных видов обращения — как более простых, так и более сложных, когда обращение допускает целое, когда целое обращается отчасти и наоборот, и когда обращаются части (27). Помимо этого укажем на связность нахождений, последова- тельное расположение посылок и следствий, силу, с какой он излагает каждый вопрос. Раз- ве можно не заметить, что случайно прибавляя или отнимая что-либо от науки впадаешь в противостоящую ей ложь и невежество? А по- скольку многое — хотя и кажется, что оно свя- зано с истиной и следует началам науки, — блуждает вдали от этих начал и обманывает людей поверхностных, он изложил методы ра- 169 зумного рассмотрения и этого, владея которы- ми мы сможем путем упражнения подвести тех, кто начинает изучать данную науку, к на- хождению ложных умозаключений, так чтобы сами они при этом не обманывались. Это со- чинение, в котором он дает нам такую подго- товку, он назвал "Ложные умозаключения" и в нем перечислил в должном порядке их виды, дал нашей мысли упражнения в каждом виде, противопоставил лжи истину и дал опроверже- ние лжи соответственно со способом ее прове- дения. Таким образом, эта книга — очисти- тельная, имеющая целью упражнение, а "На- чала" содержат неопровержимое и совершенное изложение самого научного рассмотрения предмета геометрии. 9. Теперь справедливо может возникнуть вопрос о цели этого сочинения. По этому по- воду я опять-таки могу сказать, что цель сле- дует определять либо в соответствии с предме- том исследования, либо по отношению к тому, кто обучается. Тогда, обращаясь к самому предмету, мы скажем, что наука геометрия в целом занята мировыми телами, начиная с простых, а завершается разнообразием их строения, причем, осуществляя каждое в от- дельности, она в то же время излагает, как все они вписываются в шар и соотносятся одно с другим. Поэтому некоторые сочли возможным возвести цель отдельных книг к мировому це- лому и описали пользу, которую они приносят при рассмотрении мироздания. А определяя цель по отношению к тому, кто обучается, скажем, что они — в самом названии, то есть в том, чтобы дать ученику «начала» и усовер- шенствовать его мысль во всех областях гео- 171 метрии. В самом деде, начав с них мы сможем познать и остальные части этой науки, тогда как без этого охватить все заключенное в ней разнообразие для нас невозможно точно так же, как и изучить остальные науки, потому что в них собраны самые основополагающие и простейшие умозрения, непосредственно свя- занные с первичными предпосылками, причем там они должным образом расположены, а до- казательства всего остального опираются на них как на уже известное и из них исходят. Так именно АРХИМЕД в книгах "О шаре" и "О цилиндре", и АПОЛЛОНИЙ, и все остальные очевидно используют то, что доказано в этом сочинении, в качестве общепризнанных начал. 10. Таким образом, цель состоит в том, чтобы преподать учащимся начальный курс этой науки в целом, а также в том, чтобы оп- ределить строение мировых тел. Однако нужно выяснить, что значит «начальный курс» и сло- во «начало», от которого «начальный курс» происходит, чтобы таким образом исследовать название. Так вот, некоторые положения на- зывают «началами», а другие — «начальны- ми», тогда как прочие так не обозначаются. Их называют «началами», когда рассмотрение ведется ради познания всего остального и ког- да с их помощью мы получаем разрешение за- ключающихся в этом остальном затруднений. В самом деле, как то, что мы называем «бук- вами», является первыми простейшими и не- делимыми началами письменной речи и из них состоит всякое слово и всякое предложе- ние, точно так же и у геометрии в целом есть 173 некоторые исходные положения, по смыслу являющиеся началами для последующего, ка- сающиеся всего и дающие-доказательства для многих частных случаев; они и называются «началами». А «начальными» положениями являются все те, которые хотя и распространя- ются на множество других случаев и обладают простотой и изяществом, однако же не облада- ют свойством начал, потому что знание их не является общим для всего геометрического способа рассмотрения. Например, в треуголь- никах перпендикуляры, проведенные из угла на противоположную сторону, встречаются в одной точке. И, наконец, то, познание чего не распространяется на множество случаев, не обнаруживает тонкости и изящества, — не имеет значения даже начального положения. 11. Однако о «начале», по словам МЕ- НЕХМА, говорят в двояком смысле, потому что подготовительное тоже есть начало подго- тавливаемого им, как, например, Первая кни- га ЕВКЛИДА подготавливает Вторую, а Чет- вертая — Пятую. И в таком случае многие бу- дут взаимно называться началами друг для друга, потому что они будут взаимно подго- тавливать друг друга. Например, из того, что внешние углы прямостороннего многоугольни- ка равны четырем прямым, показывается, ка- кому числу прямых углов равна сумма внут- ренних, и наоборот. Поэтому такого рода на- чало сходно с леммой (28). В другом смысле на- чалом называется то, из чего как из простей- шего состоит сложное. В таком случае не все постулаты суть начала теорем. И в соответст- вии с этим значением начала составлены На- чала у ЕВКЛИДА, — начала геометрии (отно- 175 сящиеся к плоским фигурам) и начала стерео- метрии. Точно так же многими написаны на- чальные руководства по арифметике и астро- номии. 12. А выбрать и должным образом располо- жить начала каждой науки, из которых выво- дится все остальное и на которые все осталь- ное распадается, — это трудно. Из тех, кто пытался это сделать, одни смогли свести боль- шее их число, другие — меньшее, одни пользо- вались более короткими доказательствами, другие растягивали рассмотрение до невооб- разимой величины, одни отвергали способ приведения к абсурду, другие — аналогию, третьи придумывали, как лишить силы аргу- менты тех, что отрицает начала, м вообще у каждого есть многие способы начального обу- чения. Однако при решении такой задачи не должно быть ничего лишнего, потому что это препятствует обучению; следует отбирать все то, что дает связное введение в предмет, что полезнее всего для приобретения знания; необ- ходимо продумать полное совмещение ясности и краткости, потому что противоположные ка- чества затемняют нашу мысль; необходимо придерживаться понимания теорем в общем плане, потому что все, что дробит процесс обу- чения, затрудняет усвоение знания. Нельзя не согласиться, что со всех этих то- чек зрения начальное руководство ЕВКЛИДА превосходит все остальные: оно полезно, пото- му что подводит к рассмотрению мировых фи- гур; его ясность и расчлененность обеспечива- ются переходом от простого к сложному и тем, что рассмотрение начинается с общих поня- ли; а общий характер доказательства достига- 177 ется переходом к искомому через первичные и основополагающие положения. И даже то, что представляется опущенным, теми же способа- ми, что названные выше, оказывается познан- ным. Например, опущено то, что подводит к непостижимому и бесконечному множеству, что никак не связано с изложением Начал, — таково учение о неупорядоченных иррацио- нальных, подробно изложенное АПОЛЛОНИ- ЕМ; или то, что строится исходя из изложен- ных постулатов, каковы многочисленные виды углов и линий. Все это хотя и опущено и изло- жено другими полнее, однако же познается на основании простого. Вот что предполагалось написать о начальном руководстве в целом. 13. Что же касается состава сочинения, из- ложим его следующим образом. Поскольку эта наука, геометрия, исходит, как мы говорили, из предпосылок и доказывает, выводя следст- вие из определенных начал, — потому что только одна наука исходит из беспредпосыдоч- ного начала, а остальные берут начала у нее, — постольку необходимо, чтобы составитель начального руководства по геометрии отдельно изложил начала этой науки, отдельно — след- ствия, выводимые из этих начал, и при этом не объяснял начала, но объяснял, почему из на- чал такие следствия. Это объясняется тем, что ни одна наука не доказывает собственных на- чал, не обсуждает их, но относится к ним как к достоверным самим по себе, так что они для нее более очевидны, нежели следствия. Поэто- му начала она рассматривает сами по себе, а следствия — посредством этих начал. Так, на- пример, исследователь природы ведет свои рассуждения исходя из определенного начала, 179 а именно из предпосылки о существовании движения; точно также и врач, и представи- тель любых других наук или искусств. Но еже- ли кто смешивает в одно начала и то, что из начал выводится, тот сбивает сам процесс поз- нания и соединяет то, что никак не сообразу- ется одно с другим, потому что начало и то, что из него выводится, по природе отделены одно от другого. 14. Поэтому прежде всего, как я сказал, следовало развести начала и следствия из на- чал, что ЕВКЛИД и делает в каждой, так ска- зать, книжке, излагая в начале каждого специ- ального раздела общие начала этой науки. За- тем он и сами начала делит на предложения, постулаты и аксиомы (29). Все это отличается одно от другого, так что не одно и то же акси- ома, постулат и предложение, как где-то гово- рит блаженный АРИСТОТЕЛЬ (30). Поэтому, когда и учащемуся известно, и само по себе достоверно то, что включается в разряд начал, то это — аксиома (например, те отрезки, кото- рые равны какому-то одному, равны между собой). Когда же ученик не воспринимает смысл излагаемого как сам по себе достовер- ный, однако же берет его в качестве исходного и соглашается с принимающим это, то перед нами определение (а именно, мы без науки не знаем заранее — в соответствии с общим по- нятием — что круг это такая именно фигура, но узнав, соглашаемся без доказательства). Но даже когда то, о чем идет речь, неизве- стно, и оно принимается несмотря на то, что учащийся не соглашается с этим, тогда, гово- рит АРИСТОТЕЛЬ, мы называем это постула- 181 том, например, то, что все прямые углы равны. Однако некоторые бьются над доказательством иных постулатов (31), поскольку ничто не может быть допущено само по себе без доказательства. Таким образом, согласно учению АРИСТОТЕЛЯ, отделяются друг от друга аксиома, постулат и предложение. Одна- ко часто все это вместе называют предложени- ями, например, представители СТОИЧЕС- КОЙ ШКОЛЫ, которые считают аксиомой всякое простое утверждение (32), так что в со- гласии с их мнением даже предложения суть аксиомы, а согласно с другими и аксиомы суть предложения. 15. Далее, то, что следует за началами, де- лится на проблемы и теоремы, причем первые охватывают возникновение фигур, их деление, отнятия и прибавления и вообще все те опера- ции, которые с ними производятся, а вторые указывают для каждой данной фигуры ее су- щественные свойства. А именно, подобно тому, как практические занятия причастны научно- му рассмотрению, таким же именно образом теоретические дисциплины включают в себя проблемы наподобие практической деятель- ности. Но уже некоторые из древних считали, что все следует называть теоремами (таковы приверженцы СПЕВСИППА и АМФИНО- МА), потому что, по их мнению, теоретичес- ким наукам больше подходит название теорем, нежели проблем, в особенности когда они рас- суждают о вечном. И поскольку в области веч- ного нет возникновения, там не может иметь место и проблема, провоцирующая возникно- вение и создание того, что прежде не сущест- вовало, например, построение равностроннего 183 треугольника, или чертеж квадрата на данной прямой, или проведение прямой к данной точ- ке. Поэтому они предпочитают говорить, что все это — существует, а возникновение этого мы рассматриваем не практически, а познава- тельно, беря как возникающее — вечно сущее; поэтому мы и должны говорить, что все берет- ся в качестве теорем, а не в качестве проблем. Но другие, напротив, считают правильным все называть проблемами, а не теоремами (та- ковы математики круга МЕНЕХМА), причем само выдвижение проблем, по их мнению, двояко: когда находится искомое, и когда, по- лучив нечто определенное, мы смотрим, чем оно является, или каково оно, или какая опе- рация с ним произведена, или в каком отно- шении оно находится к другому. И нужно ска- зать, что и те, и другие правы: и сторонники СПЕВСИППА — потому что проблемы гео- метрии отличаются от проблем, например, ме- ханики; и сторонники МЕНЕХМА — потому что исследование теорем невозможно без пере- хода в материю. Однако я разумею материю умопостигаемую; и когда, переходя в нее, ра- циональные построения придают ей форму, уместно говорить о возникновении, потому что мы называем возникновением фигур в вообра- жении и проведением операций над ними дви- жение нашей мысли и выявление находящихся в ней рациональных построений. Именно в воображении производятся построения, рассе- чения, помещение одного в другом, совмеще- ния плоскостей, прибавления и отнятия, тогда как в мысли все это пребывает неподвижно без возникновения и какой бы то ни было переме- ны. 185 16. Таким образом, в геометрии есть и проблемы и теоремы, но в силу того, что пре- обладающим здесь является созерцание (как в механике преобладает практика), то здесь да- же все проблемы причастны умозрению, но не наоборот, потому что доказательства в целом являются результатом умозрения, а все то в геометрии, что следует за началами, получает- ся посредством доказательства, так что теоре- мы являются более общим. И не все теоремы нуждаются в проблемах, но есть и такие, кото- рые из самих себя получают доказательство искомого. Но те, кто отделяет теорему от проблемы, утверждают, что если всякая проб- лема допускает как каждый из предикатов свойственной ей материи, так и противопо- ложный, то всякая теорема хотя и допускает сам предикат, не допускает противоположного. Их материей я называю тот род, который ис- следуется, например, треугольник, четырехуго- льник или круг, а предицируемым признаком — существенный признак, например, равное, или деление, или положение, или что-либо другое в том же роде. Поэтому когда предла- гается вписать равносторонний треугольник в круг, то речь идет о проблеме, потому что можно вписать и неравносторонний; и точно так же, когда нужно построить равностронний треугольник на данной прямой определенной длины, это тоже проблема, потому что можно построить и неравносторонний. Но когда вы- двигается положение, что углы, лежащие у ос- нования равнобедренного треугольника, рав- ны, следует говорить о теореме, потому что не MQryr быть неравными углы, лежащие у осно- вания равнобедренного треугольника (33). По- 187 этому если предложить в виде проблемы по- строить в полукруге угол, равный прямому, значит показать свою неосведомленность в геометрии, потому что всякий угол в полукруге равен прямому (34). Итак, то, чему свойствен общий признак, причем он сопутствует всей материи, — то следует называть теоремой, а когда признак не всеобщий и не обязательно сопутствует данному подлежащему, — в таком случае это нужно считать проблемой. Напри- мер, разделить пополам прямую определенной длины — можно разделить и на неравные час- ти; разделить пополам любой угод, равный прямому — возможно деление и на неравные углы; на данной прямой начертить четырех- угольник — можно и не четырехугольник; и все такого рода следует поместить в разряд проблем. Однако круг ЗЕНОДОТА, принимающего учение ЭНОПИДА, но учившегося у АНДРО- НА, отличает теорему от проблемы на том ос- новании, что теорема исследует, каков приз- нак соответствующей ей материи, а проблема исследует, чем нечто является при наличии та- кого-то условия. Исходя из этого последовате- ли ПОСИДОНИЯ определяют теорему как предложение, в соответствии с которым иссле- дуется, существует нечто или нет; а проблему — как предложение, в котором исследуется, чем нечто является и каково оно; при этом они утверждали, что теорему следует строить как утвердительное высказывание, (например, сумма двух сторон треугольника больше тре- тьей; или: углы, прилегающие к основанию равнобедренного треугольника, равны), а проблему — в качестве вопроса, например: 189 можно ли на данной прямой построить треуго- льник? Ведь не одно и то же исследовать просто и без дополнительных ограничений, можно ли из данной точки провести к данной прямой прямую под прямым углом, или же рассматривать, что такое перпендикуляр. 17. Впрочем, относительно того, что между проблемой и теоремой есть различие, ясно на основании вышеизложенного; относительно же того, что и в "Началах" ЕВКЛИДА есть как проблемы, так и теоремы, станет ясно на осно- вании того, что он сам в конце каждого дока- зательства прибавляет в одних случаях «что и требовалось сделать», а в других — «что и тре- бовалось доказать», что является признаком теорем; хотя, как уже сказано, доказательство существует и в проблемах, но тем не менее в одном случае доказательство проводится ради того, что возникает, — а именно, мы применя- ем доказательство, ради того, чтобы показать, что построено то, что предлагалось; а в другом оно заслуживает внимания само по себе, по- скольку может сделать очевидной природу ис- комого. И легко обнаружить, что ЕВКЛИД в одних случаях сочетает теоремы и проблемы и пользуется то теми, то другими, как, напри- мер, в Первой книге; а в других преобладает что-то одно: так, Четвертая целиком состоит из проблем, а Пятая из теорем. 18. Об этом — довольно сказанного; а пос- ле этого, определив цель Первой книги и уяс- нив ее разделение, начнем рассмотрение опре- делений. Итак, задача этой книги — преподать начала учения о прямолинейных фигурах. Де- ло в том, что хотя круг и рассмотрение круга по природе более значительно, нежели сущ- 191 ность прямолинейных и знание о них, но нам больше пристало обучиться этому, поскольку мы еще покамест не достигли совершенства и потому только еще стремимся переводить мысль от чувственно воспринимаемого к: умо- постигаемому. И в самом деле, чувственно воспринимаемому свойственны прямолиней- ные очертания, а умопостигаемому — круг, потому что простое, однородное и определен- ное соответствует природе сущих, а разнооб- разное и подверженное неопределенному уве- личению числа охватывающих сторон — отли- чает чувственно воспринимаемое. Вот почему в этой книге как раз преподаны самые прос- тые и изначальные прямолинейные фигуры, — я разумею треугольник и параллелограмм. Ведь именно в них — как в родовой общности — содержаться и причины элементов (35), а именно равнобедренный, неравносторонний треугольники и то, что составляется их них, — равносторонний треугольник и четырехуголь- ник, из которых составляются фигуры четырех элементов. Поэтому мы найдем в Первой кни- ге возникновение треугольника и четырехуго- льника, первого — на данной прямой, второго — от данной (36). А равносторонний треуголь- ник есть непосредственная причина трех эле- ментов — огня, воздуха, воды, тогда как четы- рехугольник — земли. Таким образом, цель Первой книги связана с сочинением в целом и направляет к целостному рассмотрению начал мироздания. Но помимо этого она также дает учащимся элементарные сведения о прямоли- нейных фигурах, давая доступное объяснение первых начал и их точное и связное изложе- ние. 193 19. А делится эта книга на три большие части. Из них первая показывает возникнове- ние треугольников, их особенности с точки зрения углов и сторон, а также проводит их взаимное сравнение и каждый рассматривает сам по себе. А именно, взяв один треугольник, ЕВКЛИД рассматривает иной раз зависимость углов от сторон, иной раз — сторон от углов, а также то, что касается равенства и неравенст- ва; и взяв два, он разными способами исследу- ет то же самое. Вторая часть (37) охватывает учение о параллелограммах, описывает осо- бенности противолежащих сторон и возникно- вение параллелограммов, а помимо этого до- казывает присущие им особенные свойства. Третья часть (38) показывает общность между треугольниками и параллелограммами в их свойствах и при их сопоставлении одних с дру- гими. Среди прочего доказывается, что треуго- льники или параллелограммы обладают теми же свойствами, когда они построены на одних и тех же и на равных основаниях; рассматри- вается случай, когда треугольник является час- тью параллелограмма, построенного на одном с ним основании (39); показано, как можно по- строить параллелограмм, равный треугольни- ку (40); наконец, идет речь о квадратах, постро- енных на сторонах прямоугольного треуголь- ника, — в каком отношении находится гипоте- нуза к катетам (41). Вот примерно такова задача Первой книги "Начал" и таково ее разделение. 20. Приступая к началу детального изуче- ния, мы хотим предупредить возможного чи- тателя, чтобы он не требовал от нас всех тех лемм, частных случаев и всего прочего в том же роде, о чем постоянно говорится у наших 195 предшественников — мы этим сыты и поэтому будем касаться этого редко. Но все то, что от- носится к самому существу учения и направ- ляет нас к философии в целом, об этом мы бу- дем делать развернутые замечания, ревностно следуя за ПИФАГОРЕЙЦАМИ, у которых в ходу было и такое изречение: «чертеж и шаг, а не чертеж и грош»; объясняется оно .так: сле- дует заниматься той геометрией, которая с каждой теоремой делает шаг на пути к горне- му и подымает душу ввысь, и не позволяет ей опускаться в область чувственно воспринимае- мого и применять геометрию к обычным чело- веческим нуждам, в погоне за которыми забы- вают о бегстве отсюда (42). 197 ПРИМЕЧАНИЯ (1) rheton — как математический термин оз- начает «соизмеримое», «рациональное»; Про- клу важно подчеркнуть, что в отличие от арифметики геометрия имеет дело и с несоиз- меримыми отрезками, иррациональными чис- лами. 211 (2) Заметим, что в первом прологе Прокл начинает с того же вопроса относительно ма- тематики в целом, но избегает рассмотрения материи математических сущностей, указы- вая только в общей форме, что математическое знание не очищено от всякой материи (5). (3) Ср. Plat. Resp. 527b: геометрическое зна- ние познает вечно сущее, влечет душу к истине и устремляет философскую мысль к горнему (apergastikov philosophoy dianoias pros to ano...). (4) Таким образом, мы видим, что во втором прологе Прокл исходит из принципиально другого комплекса проблем, в основе которого вопрос о том, являются ли математические сущности результатом абстракции от чувствен- но воспринимаемого или же предшествуют ему онтологически. (5) Cardini (p. 41) сопоставляет с Arist. Met. 1069b15: ditton то on, поддерживая пунктуа- цию Friedlein; Barocius, Schoenberger, Morrow закрывают скобку после phesi, в результате чего вся фраза по-гречески читается легче и естест- венней. Правда, Аристотель нигде не говорит о yle phantaston, но в оппозиции к yle aistete, как замечает Morrow (р. 4, n. 5), «Proclus' yle phantaston is justified, since Aristotle elsewhere (De an. 433al0) assumes that phantasia is а form of noesis». Ниже (53) Прокл отождеств- ляет воображаемое и умопостигаемую мате- рию. (6) См. вступительную статью (разделы о во- ображении), а также прим. 12. (7) Arist. De an. 430a24. Morrow указывает (ibid., n. 6), что аналогичная интерпретация у Прокла в In Tim. I 244, 20 и III 158, 9 Diehl. 212 Понимание phantasia на основе этого текста из De an. ср. у Сириана (In Met. М 895b16-17): kalei gar tayten en eteroi patetikon noyn. (8) Plat. Tim. 42a: aistesin... ek biaion pate- maton. (9) В данном случае «единое рациональное построение» (logos) означает «единое соотно- шение [между длиной окружности и диамет- ром]». (10) en protyrois — ср. Plat. Phil. 64с: epi tois toy agatoy... protyrois. (11) Ср. Гомер, "Одиссея" V 55-147: Гермес пе- редает нимфе Калипсо приказ богов освобо- дить Одиссея и позволить ему вернуться до- мой. Одиссей рассматривался как символ ду- ши, возвращающейся в «дорогую отчизну», уже у Плотина (Enn. I 6, 8, 18-20). (12) «Большинство платоников» восприняли аристотелевское «абстракционистское» отно- шение к математике, подчеркнутое Александ- ром Афродисийским, в числе которых Ian Мu- eller («Aristotle's doctrine of abstraction in the commentators». — In: Aristotle transformed... ed. by R. Sorabji, London, 1990, pp. 463-480) по- мещает Порфирия (pp. 478-479), правда, с оговорками. В "Комментарии на Гармонику Птолемея" Порфирий не говорит, что вообра- жение копирует чувственные восприятия: оно вносит в них точность, представляет душе как понятия, на основе которых возникает знание, от которого — подобный отчетливому зрению ум, прикосновенный к подлинному сущему; Ian Mueller называет этот взгляд на пробужде- ние ума платоновским, но механизм — по су- ществу чисто аристотелевским. Между тем, 213 скорее следовало бы как раз подчеркнуть, что Порфирий вводит в платоно-пифагорей- скую иерархию познавательных способностей аристотелевский пласт, позволивший создать, в частности, прокловскую концепцию воображе- ния. Заметим, что в связи с проблемой вооб- ражения Прокл ссылается на Порфирия и в комментарии на "Государство". Во-первых, за- метим, что "Государство" не входило в ямвли- ховский круг 12 платоновских диалогов, но комментарий на Государство был у Порфи- рия, которого Прокл называет philosophotatos (II 96, 13 Kroll). Здесь же Прокл дает следу ю- щее определение воображения: kai gar phanta- sia noys tis esti patetikos (cf. Syrian. In M Me- taph. р. 895b16-17: kalei gar tayten en eterois patetikov noyn). Порицая Колота, не допус- кающего использования мифов в философии, Прокл в поддержку своей точки зрения ссыла- ется на Порфирия и добавляет: «...tais psychais noepais men oysais... endysamenais de ton phantasti- kon noyn kai zen aney toytoy me dynamenais en tode to topo tes geneseos... prepon estin tropos tes di- daskalias... o dia ton myton (II 107, 14-23); это прямо соотносится с Порфирием: «...to zoo... ai noeseis oyk aney phantasias» (Sent. 16, p. 8, 1- 3 Lamberz). Далее Прокл добавляет: oste kai ton palaion tinas toys men phantasias tayton eipein einai kai noyn toys de kai diakrinantas aphantaston noesin medemian apoleipein; это также отсылает нас к Сентенциям Порфирия, в конечном сче- те опирающегося на 3 кн. О думе Аристотеля: «...o de noys eis ayton synagomenos, oydeme exo ek- teinomenos, hoper kai edokei tisin onomatos diaphoras prostheises te toy voy ypostasei kai te tes phantasias he gar en logiko zoo phantasia ede- 214 dokto aytois noesis (43, р. 55, 18-56, 3). Рас- сматривая проблему единства души (I 233, 29-234,30), Прокл вспоминает Symmikta zete- mata (называя их здесь problemata): существу- ет два типа вожделения (orexis) и знания (gno- sis), которые соответствуют одноименным по- тенциям (orektikai kai gnostikai dynameis), а phantasia noesis oysa morphotike noeton ethelei gnosis einai (I 235, 1-21). Чтение этих пасса- жей создает впечатление, что Порфирий ин- спирирует Прокла, но не удовлетворяет его, и поэтому Прокл принимает его, но с поправка- ми и новыми формулировками: Emeis de... oyk hosa monon o philosophotatos... Porphyros echoimen an... legein (II 106, 15-17); kalos men kai o Por- phyrios [sc. legei]... oy men alla kakeino rheteon... (II 111, 9-14); prostheteon de toytois (II 107, 14); ekeino de prosthetentes (I 235, 2-3); все это очень напоминает и наш пассаж во втором введении. По-видимому, ввести соответствую- щие тексты Аристотеля и Порфирия в поле зрения афинских неоплатоников мог еще Плу- тарх Афинский, с которым Прокл читал "О ду- ме". (13) Arist. Anal. Post. 87a31-37. (14) toys ton tetragonon gnomonas, — букваль- но: «гномоны квадратов»; «гномон» означает «наугольник»; квадратные числа 1, 4, 9, 16 и т.д. могут быть изображены так: . . . . _____ . . .|. ____ | . .|.|. __ | | .|.|.|. 1^2 + 3 = 2^2 2^2 + 5 = З^2 З^2 + 7 = 4^2 и т.д., то есть к 1^2 нужно прибавить не меньше 3, чтобы опять получить квадрат, к 2^2 — не меньше 5, чтобы получить еще один и т.д. По- 215 следовательность чисел 3, 5, 7 и т.д. и есть по- следовательность гномонов квадратов. Ср. Ев- клид, "Начала", 2 определение II книги и ком- ментарий к нему Д.Д.Мордухай-Болтовского (М.,1948,с. 295-296). (15) 7^2 = (5^2 х 2) - 1; Ver Eecke приводит другой пример: 412 — (29^2 х 2) — 1. Morrow сопоставляет этот текст с текстом из "Государ- ства" Платона (546с), где идет речь о рацио- нальном и иррациональном диаметре 5 (то есть диагонали квадрата со стороною равной 5), причем разница между квадратами того и другого равна единице; иррациональный диа- метр равен корню из (5^2 + 5^2), рациональный — 7. (16) Ср. Плутарх, Жизнеописание Марцелла, 29. (17) o daimonios Aristoteles в отличие от o theios Platon — титулование, регулярно выдер- живаемое в постямвлиховском неоплатонизме. (18) Учение, изложенное Платоном в "Тимее" 22 sqq., "Критии" 109d, "Законах" 677Ь; Аристо- телем в трактате "О небе" 270b19, "Политика" 1329b25; "Метафизика" 1074а38 sqq; "Метеоро- логика" 339b19 sqq. и в недошедшем до нас трактате Peri philosophias. (19) Здесь начинается знаменитый текст т.н. «каталога геометров», который традиционно возводили к ученику Аристотеля Евдему. (20) Ср. Porphyr. V. Pythag. 6; p. 38, 18-20 Des Places: geometrias men gar ek palaion chronon epimelethenai Aigyptioys, ta de peri arithmoys kai logismoys Phoinikas, Oolvixoe. (21) Ср. Porph. V. Pythag. 48, p. 59, 5-7: ... paregenonto eis toys arithmoys eysemoy didaskali- 216 as charin mimesamenoi toys geometras kai toys grammatistas. Выражение ten peri ayten philoso- phian отражает словоупотребление, характерное для IV в., в частности, для Исократа, Платона. Поэтому уместно приводимое Conrado Eggers Lan (p. 134, n. 25) сопоставление этого текста с Plat. Theaet. 143d («геометрия или иная фи- лософия»), и с Arist. Met. 1026a (математика как «теоретическая философия»). Весь текст о Пифагоре совпадает с Ямвлихом De comm. math. sc. p. 70, 1-3 Festa-Klein (ср. W. Bur- kert, Lore and Science in Ancient Pythagorea- nism, Cambridge, Mass., 1972, pp. 408-409) и — как бы ни рассматривать проблему соотно- шения текстов Прокла и Ямвлиха — имеет неоплатоническое происхождение (ср. ниже термины noeros kai aylos). (22) plat. Amat. 132a. (23) Обычно считается, что здесь кончается использованный Проклом экскурс Евдема: здесь завершает «фрагмент Эвдема» Верди, Ван дер Варден вопрошает: «Кого другого как не Эвдема нужно понимать под этими исто- риографами?» (Erwachende Wissenschaft, Ba- sel-Stuttgart, 1956, s. 143, ср. Cardini, p. 73). Помимо того, что уже отмечено выше, обра- тим внимание на про-платоновскую ориента- цию предшествующих пяти абзацев, а также на то, как естественно к этой истории примы- кает платоник-Евклид. Заметим также, что до Платона и его школы была доведена Philosophos historie Порфирия. (24) Существует аналогичный рассказ о Ме- нехме и Александре Македонском. (25) Текст, обычно вызывающий протест ис- 217 ториков науки. Однако, хотя и несомненно, что прямолинейные поиски положений плато- новской философии у Евклида ни к чему не приведут, хотя очевидно, что «описание пяти платоновских тел» — не цель Евклидовских начал, а цель изучения математики в школах среднего платонизма (ср. только название со- чинения Феона Смирнского: "Изложение ма- тематических предметов, полезных для чте- ния Платона"), тем не менее математика без Академии Платона никогда не получила бы того развития, какое оказалось возможным благодаря атмосфере, созданной в Академии. По существу, до Александрийского Музея Академия была единственным открытым цент- ром изучения математики, тем местом, где за- нятия математикой были безусловно оправда- ны ее исключительной ролью в воспитании философа, а также личной приверженностью к математике главы школы. (26) Об этом различении Прокл говорит в самом тексте "Комментария к Евклиду" ниже (р. 206, 15 sqq.). (27) Об этом речь также в самом тексте ком- ментария Прокла (pp. 252-254; 409, 1-6). (28) См. pp. 211, 1 sqq. комментария Прокла. Ср. предложение 32 первой книги "Начал". (29) В известном нам тексте Евклида речь идет об определениях, постулатах и общих по- нятиях. (30) Arist. Anal. post. 76a31-77a4. (31) В частности, речь идет о знаменитом пя- том постулате, о чем Прокл говорит ниже (р. 191, 23 sqq.). (32) См. Diog. L. VII 65: axiomata — все то, 218 что бывает истинно или ложно, то есть всякое утверждение или отрицание. (33) См. "Начала", кн. I, предложение 5. (34) Там же, кн. III, предложение 31 — т.н. «теорема Фалеса». (35) О строении элементов физического мира по Платону см. Тимей 53с-55с. (36) Morrow (p. 67, n. 72) замечает: This dis- tinction... seems to have been traditional among Greek geometers, though the reason for it is hard to see. См. "Начала", кн. I, предложение 42 и 46 (anagrapsai apo...). (37) Предложения 27-34. (38) Предложения 35-48. (39) Предложение 41. (40) Предложение 42. (41) Предложение 47. (42) Ср. примеч. 10 и указанный текст Пло- тина: «Так бежим в дорогое отечество... А оте- чество наше там, откуда мы пришли, и там наш отец» (Enn. I 6, 8, 16-17; 22-23). 219